Definicja granicy funkcji w punkcie i w nieskończoności

Definicja 1: Otoczenie i sąsiedztwo punktu

Otoczeniem punktu $ x_0\in \mathbb{R} $ nazywamy dowolny przedział otwarty $ (a,b) $ zawierający ten punkt, tzn. $ x_0\in (a,b) $, a sąsiedztwem punktu $ x_0\in \mathbb{R} $ nazywamy otoczenie z wyłączeniem punktu $ x_0 $.

Oznaczenia
Otoczenie punktu $ x_0\in \mathbb{R} $ oznaczamy symbolicznie $ \mathcal{O}(x_0) $, a sąsiedztwo punktu $ x_0\in \mathbb{R} $ oznaczamy przez $ \mathcal{S}(x_0)=\mathcal{O}(x_0)\setminus \{x_0\} $.

Komentarz
W wielu sytuacjach, przy badaniu własności funkcji $ f\colon D_f\to \mathbb{R} $, gdzie $ D_f\subset \mathbb{R} $ interesuje nas tylko jej zachowanie w bliskim sąsiedztwie punktu w którym funkcja nie musi być określona. Zawężamy wtedy funkcję do otoczenia lub sąsiedztwa punktu $ x_0 $, zamiast zajmować się całą dziedziną funkcji. Jeżeli funkcja posiada pewną własność w otoczeniu lub sąsiedztwie, które może być nawet bardzo małe, punktu $ x_0 $, to mówimy o lokalnym zachowaniu się funkcji. Pojęcie granicy funkcji w punkcie należy właśnie do takiej kategorii własności.

Definicja 2: Definicja Cauchy'ego granicy właściwej funkcji w punkcie

Mówimy, że funkcja $ f\colon D_f\to \mathbb{R} $ ma granicę $ g $ w punkcie $ x_0 $ , gdzie pewne sąsiedztwo $ \mathcal{S}(x_0) $ jest zawarte w dziedzinie funkcji, jeżeli dla dowolnego otoczenia punktu $ g\in \mathbb{R} $ da się dobrać sąsiedztwo punktu $ x_0 $ tak, aby dla wszystkich argumentów z tego sąsiedztwa, wartości funkcji dla tych argumentów wpadały do otoczenia punktu $ g $.

Oznaczenia
Granicę funkcji $ f $ w punkcie $ x_0 $ oznaczamy przez $ \lim_{x\to x_0}{f(x)}. $

Uwaga 1:

Definicję Cauchy’ego granicy właściwej funkcji w punkcie można zapisać symbolicznie:

funkcja $ f $ ma w punkcie $ x_0 $ granicę równą $ g $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ \forall_{\epsilon > 0}\exists_{\delta > 0}\forall_{x\in D_f}\ 0 < |x-x_0| < \delta \Rightarrow \left|f(x)-g\right| < \epsilon $.

Rysunek 1: Interpretacja geometryczna definicji Cauchy'ego granicy funkcji w punkcie

Na Rys. 1 widzimy wykres funkcji $ f $ z zaznaczonym na osi odciętych punktem $ x_0 $, w którym funkcja nie ma wartości, ale w sąsiedztwie którego jest określona. Na osi rzędnych zaznaczono liczbę $ g $. Chcemy pokazać, że liczba $ g $ jest granicą funkcji $ f $ w punkcie $ x_0 $. W tym celu bierzemy dowolne $ \epsilon > 0 $ i wyznaczamy przedział $ (g-\epsilon,g+\epsilon) $, który przedłużamy do pasa wzdłuż osi odciętych. Wyznaczamy punkty przecięcia prostych $ y=g-\epsilon $ i $ y=g+\epsilon $ z wykresem funkcji $ f $, które rzutujemy prostopadle na oś odciętych. Przez $ \delta $ oznaczymy najmniejszą z odległości zrzutowanych punktów od punktu $ x_0 $. Pokazujemy, że dla dowolnego argumentu $ x $ należącego do przedziału $ (x_0-\delta,x_0+\delta) $ wartość funkcji $ f $ dla tego argumentu $ f(x) $ wpada do przedziału $ (g-\epsilon,g+\epsilon) $, co spełnia warunki definicji Cauchy’ego granicy funkcji w punkcie.

Definicja 3: Definicja Heinego granicy właściwej funkcji w punkcie

Mówimy, że funkcja $ f\colon X\to \mathbb{R} $ ma granicę $ g $ w punkcie $ x_0 $ , gdzie pewne sąsiedztwo $ \mathcal{S}(x_0) $ jest zawarte w dziedzinie funkcji, jeżeli dla każdego nie stałego ciągu $ (x_n) $ argumentów funkcji $ f $ różnych od $ x_0 $ zbieżnego do granicy $ x_0 $, ciąg wartości funkcji odpowiadających argumentom $ x_n $ jest zbieżny do granicy $ g $.

Uwaga 2:

Definicję Heinego granicy właściwej funkcji w punkcie można zapisać symbolicznie symbolicznie:

funkcja $ f $ ma w punkcie $ x_0 $ granicę równą $ g $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ \forall_{x_n\in \mathcal{S}(x_0)}\ \left(\lim_{n\to \infty}{x_n}=x_0\Rightarrow \lim_{n\to \infty}{f(x_n)}=g\right) $.

Rysunek 2: Interpretacja geometryczna definicji Heinego granicy funkcji w punkcie

Rys. 2 przedstawia wykres funkcji $ f $ z zaznaczonym na osi odciętych punktem $ x_0 $, w którym funkcja nie ma wartości, ale w sąsiedztwie którego jest określona. Na osi rzędnych zaznaczono liczbę $ g $. Chcemy pokazać, że liczba $ g $ jest granicą funkcji $ f $ w punkcie $ x_0 $. W tym celu wybieramy kolejne wyrazy ciągu argumentów funkcji $ f\ x_1,x_2,x_3,\dots $ różne od $ x_0 $, który ma granicę $ x_0 $ i zaznaczamy na osi rzędnych wartości funkcji $ f $ dla tych argumentów. Sprawdzamy, czy ciąg wartości funkcji $ f(x_n) $ lokalizuje się wokół liczby $ g $. Jeżeli tak jest, to spełniony jest warunek definicji Heinego.

Uwaga 3:

Zauważamy, ze definicja Cauchy’ego sformułowana jest w języku otoczeń i jest niewygodna jako narzędzie do wyliczania granicy. Definicja Heinego używa w swojej wypowiedzi pojęcia ciągu, dlatego też okazuje się, że znajomość metod liczenia granic ciągów można wykorzystać przy liczeniu granic funkcji właśnie poprzez bezpośrednie zastosowanie definicji Heinego.

Twierdzenie 1: o równoważności definicji Cauchy’ego i Heinego

Definicja Heinego granicy funkcji w punkcie jest równoważna odpowiedniej definicji Cauchy'ego

Przykład 1:

Pokaż z definicji, że $ \lim_{x\to 1}{\frac{2x}{x+1}}=1 $
Rozwiązanie:
Sposób I:
Skorzystajmy z definicji Cauchy'ego.
Bierzemy zatem dowolne $ \epsilon > 0 $. Mamy pokazać, że znajdziemy takie $ \delta > 0 $, że dla wszystkich argumentów $ x\neq 1 $ i $ x \neq -1 $ funkcji $ f(x)=\frac{2x}{x+1} $ spełniających zależność $ |x-1| < \delta $ zachodzi nierówność

$ \left|\frac{2x}{x+1}-1\right| < \epsilon $

Rozwiązujemy powyższą nierówność wyliczając zależność dla $ |x-1| $

$ |x-1| < \epsilon |x+1| $

$ |x-1| < \epsilon |x-1+2|\leq \epsilon (|x-1|+2) $

$ |x-1| < \frac{2}{1-\epsilon} $, dla $ \epsilon < 1 $

z drugiej strony dla $ \epsilon \geq 1 $ mamy

$ \left|\frac{2x}{x+1}-1\right| < 1\leq \epsilon $

co jest równoważne nierówności $ x > 0 $, czyli możemy przyjąć $ |x-1| < 1 $.
Stąd $ \delta = \frac{2}{1-\epsilon} $, dla $ \epsilon < 1 $ oraz $ \delta =1 $, dla $ \epsilon \geq 1 $, czyli dla każdej liczby $ \epsilon > 0 $ da się dobrać liczbę $ \delta=\min{\{\frac{2}{1-\epsilon},1\}} $ taką, że spełniona jest nierówność $ \left|\frac{2x}{x+1}-1\right| < \epsilon $ dla wszystkich $ x $ takich, że $ 0 < |x-1| < \delta $.
Sposób II:
Skorzystajmy z definicji Heinego.
Bierzemy zatem dowolny ciąg $ x_n\in \mathbb{R}\setminus \{-1,1\} $ taki, że $ \lim_{n \to \infty}{x_n}=1 $. Mamy pokazać, że $ \lim_{n\to \infty}{f(x_n)}=1. $ Obliczamy granicę

$ \lim_{n\to \infty}{f(x_n)}=\lim_{n\to \infty}{\frac{2x_n}{x_n+1}}=\frac{\lim_{n\to \infty}{2x_n}}{\lim_{n\to \infty}{(x_n+1)}}=\frac{2\lim_{n\to \infty}{x_n}}{\lim_{n\to \infty}{x_n}+1}=\frac{2}{1+1}=1 $

To dowodzi, że $ \lim_{x\to 1}{\frac{2x}{x+1}}=1 $.

Przykład 2:

Oblicz z definicji $ \lim_{x\to 3}{\frac{x^2-9}{x^3-27}} $.
Rozwiązanie:
Do obliczenia granicy skorzystamy z definicji Heinego. Bierzemy zatem dowolny ciąg $ x_n\neq 3 $ zmierzający do $ 3 $ i obliczamy $ f(x_n)=\frac{x_n^2-9}{x_n^3-27}=\frac{(x_n-3)(x_n+3)}{(x_n-3)(x_n^2+3x_n+9)} $.
Wyliczamy granicę $ \lim_{n\to \infty}{f(x_n)}=\lim_{n\to \infty}{\frac{x_n^2-9}{x_n^3-27}=\lim_{n\to \infty}\frac{(x_n-3)(x_n+3)}{(x_n-3)(x_n^2+3x_n+9)}}=\frac{6}{27} $.

Zatem $ \lim_{x\to 3}{\frac{x^2-9}{x^3-27}}=\frac{2}{9} $.

Definicja 4: Granica właściwa funkcji w nieskończoności

Mówimy, że funkcja $ f\colon (a,+\infty)\to \mathbb{R} $ ma granicę $ g $ w $ +\infty $, jeżeli dla każdego ciągu $ (x_n) $ argumentów funkcji $ f $ rozbieżnego do $ +\infty $, ciąg wartości funkcji obliczonych dla wyrazów ciągu $ (x_n) $ jest zbieżny do granicy $ g $.

Mówimy, że funkcja $ f\colon (-\infty, a)\to \mathbb{R} $ ma granicę $ g $ w $ -\infty $, jeżeli dla każdego ciągu $ (x_n) $ argumentów funkcji $ f $ rozbieżnego do $ -\infty $, ciąg wartości funkcji obliczonych dla wyrazów ciągu $ (x_n) $ jest zbieżny do granicy $ g $.

Uwaga 4:

Powyższe definicje możemy zapisać symbolicznie

$ \lim_{x\to +\infty}{f(x)}=g $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ \forall_{x_n\in D_f}\left(\lim_{n\to \infty}{x_n}=\pm \infty \Rightarrow \lim_{n\to \infty}{f(x_n)}=g\right) $

$Interpretacja geometryczna granicy właściwej funkcji w {OPENAGHMATHJAX()}+\infty{OPENAGHMATHJAX}{OPENAGHMATHJAX()}+\infty{OPENAGHMATHJAX}$

Rysunek 3: Interpretacja geometryczna granicy właściwej funkcji w $ +\infty $ $ +\infty $

Rys. 3 przedstawia wykres funkcji określonej w przedziale $ [0,+\infty) $ oraz metodę wyznaczania granicy funkcji w nieskończoności korzystając z definicji Heinego. Na osi odciętych wybieramy ciąg rozbieżny do $ +\infty $ (niebieski), wyznaczamy odpowiadające im punkty na wykresie funkcji (czerwone), a następnie rzutujemy je prostopadle na oś rzędnych otrzymując wartości funkcji dla argumentów będących wyrazami wyjściowego ciągu (zielone). Badamy zachowanie się ciągu wartości i jeżeli jest to ciąg zbieżny, to funkcja ma granicę w nieskończoności, co zachodzi w przypadku badanej funkcji. Zauważmy również, że można tu stosować definicję Cauchy’ego i sprawdzać, czy znajdziemy prostą o równaniu $ y=g $, do której wykres funkcji zbliża się nieograniczenie wraz ze wzrostem wartości argumentów.

Przykład 3:

Oblicz z definicji $ \lim_{x\to \infty}{\frac{3x^2-3}{x^2+1+2x}} $.
Rozwiązanie:
Skorzystamy z definicji Heinego. Bierzemy zatem dowolny ciąg argumentów $ (x_n) $ rozbieżny do $ +\infty $.
Obliczamy granicę ciagu wartości funkcji dla tych argumentów $ \lim_{n\to \infty}{f(x_n)}=\lim_{n\to \infty}{\frac{3x_n^2-3}{x_n^2+1+2x_n}}= $ $ \left[\frac{\infty}{\infty}\right] $ $ =\lim_{n\to \infty}{\frac{x_n^2\left(3-\frac{3}{x_n^2}\right)}{x_n^2\left(1+\frac{1}{x_n^2}+\frac{2}{x_n}\right)}}=3 $.

Czyli $ \lim_{x\to \infty}{\frac{3x^2-3}{x^2+1+2x}}=3 $.

Przykład 4:

Oblicz $ \lim_{x\to -\infty}{\frac{\sqrt{4x^2-1}+2x}{x+1}} $.
Rozwiązanie:
Skorzystamy z definicji Heinego. Bierzemy zatem dowolny ciąg $ (x_n) $ rozbieżny do $ -\infty $.
Obliczamy granicę wartości funkcji dla tych argumentów
$ \lim_{n\to \infty}{f(x_n)}=\lim_{n\to \infty}{\frac{\sqrt{4x_n^2-1}+2x_n}{x_n+1}}= $ $ \left[\frac{\infty -\infty}{-\infty}\right] $ $ =\lim_{n\to \infty}{\frac{\sqrt{4x_n^2-1}+2x_n}{x_n+1}\cdot \frac{\sqrt{4x_n^2-1}-2x_n}{\sqrt{4x_n^2-1}-2x_n}}=\lim_{n\to \infty}{\frac{4x_n^2-1-4x_n^2}{(x_n+1)\left(\sqrt{4x_n^2-1}-2x_n\right)}}=\left[\frac{-1}{-\infty \cdot (\infty+\infty)}\right]=0 $

Czyli $ \lim_{n\to -\infty}{\frac{\sqrt{4x^2-1}+2x}{x+1}}=0 $.

Uwaga 5:

Granica funkcji w nieskończoności jest uogólnieniem pojęcia granicy ciągu, dlatego też wiele własności wyprowadzonych dla granic ciągów stosuje się do granicy funkcji w nieskończoności.

Wniosek 1:

$ \lim_{x\to \infty}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^x}=e $

$ \lim_{x\to \infty}{a^{\frac{1}{x}}}=1 $, dla $ a > 0 $

$ \lim_{x\to \infty}{x^{\frac{1}{x}}}=1 $

Definicja 5: Granica niewłaściwa funkcji w punkcie

Mówimy, że funkcja $ f\colon X\to \mathbb{R} $ ma granicę niewłaściwą $ +\infty $ w punkcie $ x_0 $ , jeżeli dla każdego nie stałego ciągu $ (x_n) $ argumentów funkcji $ f $ różnych od $ x_0 $ zbieżnego do granicy $ x_0 $, ciąg wartości funkcji obliczonych dla wyrazów ciągu $ (x_n) $ jest rozbieżny do $ +\infty $.

Mówimy, że funkcja $ f\colon X\to \mathbb{R} $ ma granicę niewłaściwą $ -\infty $ w punkcie $ x_0 $, jeżeli dla każdego nie stałego ciągu $ (x_n) $ argumentów funkcji $ f $ różnych od $ x_0 $ zbieżnego do granicy $ x_0 $, ciąg wartości funkcji obliczonych dla wyrazów ciągu $ (x_n) $ jest rozbieżny do $ -\infty $.

Uwaga 6:

Powyższe definicje możemy zapisać symbolicznie

$ \lim_{x\to x_0}{f(x)}=\pm \infty $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ \forall_{x_n\in \mathcal{S}(x_0)\subset D_f}\ \left(\lim_{n\to \infty}{x_n}=x_0 \Rightarrow \lim_{n\to \infty}{f(x_n)}=\pm \infty\right) $

Rysunek 4: Interpretacja geometryczna granicy niewłaściwej funkcji w punkcie

Rys. 4 przedstawia wykres funkcji określonej w sąsiedztwie liczby $ 10 $ oraz metodę wyznaczania granicy niewłaściwej funkcji w punkcie $ x_0=10 $ korzystając z definicji Heinego. Na osi odciętych wybieramy ciąg zbieżny do $ x_0=10 $ (niebieski), wyznaczamy odpowiadające im punkty na wykresie funkcji (czerwone), a następnie rzutujemy je prostopadle na oś rzędnych otrzymując wartości funkcji dla argumentów będących wyrazami wyjściowego ciągu (zielone). Badamy zachowanie się ciągu wartości i jeżeli jest to ciąg rozbieżny do $ +\infty $, to funkcja ma granicę niewłaściwą $ +\infty $ w punkcie $ x_0=10 $, co zachodzi w przypadku badanej funkcji. Zauważmy również, że można tu stosować definicję Cauchy’ego i sprawdzać, czy dla dowolnej prostej o równaniu $ y=A $ znajdziemy sąsiedztwo punktu $ x_0=10 $ takie, że dla argumentów z tego sąsiedztwa wykres funkcji leży powyżej prostej.

Przykład 5:

Oblicz granicę $ \lim_{x\to 2}{\frac{3x^2-5x-2}{x^3-6x^2+12x-8}} $.
Rozwiązanie:
Skorzystamy z definicji Heinego. Bierzemy zatem dowolny ciąg argumentów $ (x_n) $ różnych od $ 2 $ i $ -3 $ zbieżny do $ 2 $.
Obliczamy granicę ciagu wartości funkcji dla tych argumentów
$ \lim_{n\to \infty}{f(x_n)}=\lim_{n\to \infty}{\frac{3x_n^2-5x_n-2}{x^3_n-6x^2_n+12x_n-8}}=\left[\frac{0}{0}\right]=\lim_{n\to \infty}{\frac{(3x_n+1)(x_n-2)}{(x_n-2)^3}}=\left[\frac{3* 2+1}{0^+}\right]=+\infty $.

Czyli $ \lim_{x\to 2}{\frac{3x^2-5x-2}{x^2+x-6}}=+\infty $.

Definicja 6: Granica niewłaściwa funkcji w nieskończoności

Mówimy, że funkcja $ f\colon (a,+\infty)\to \mathbb{R} $ ma granicę $ \pm \infty $ w $ +\infty $, jeżeli dla każdego ciągu $ (x_n) $ argumentów funkcji $ f $ rozbieżnego do $ +\infty $, ciąg wartości funkcji obliczonych dla wyrazów ciągu $ (x_n) $ jest rozbieżny do $ \pm \infty $.

Mówimy, że funkcja $ f\colon (-\infty,a) $ ma granicę $ \pm \infty $ w $ -\infty $, jeżeli dla każdego ciągu $ (x_n) $ argumentów funkcji $ f $ rozbieżnego do $ -\infty $, ciąg wartości funkcji obliczonych dla wyrazów ciągu $ (x_n) $ jest rozbieżny do $ \pm \infty $.

Uwaga 7:

Powyższe definicje możemy zapisać symbolicznie

$ \lim_{x\to \pm \infty}{f(x)}=\pm \infty $ wtedy i tylko wtedy, gdy $ \forall_{x_n\in D_f}\ \left(\lim_{n\to \infty}{x_n}=\pm \infty \Rightarrow \lim_{n\to \infty}{f(x_n)}=\pm \infty\right) $.

$Interpretacja geometryczna granicy niewłaściwej funkcji w {OPENAGHMATHJAX()}+\infty{OPENAGHMATHJAX}$

Rysunek 5: Interpretacja geometryczna granicy niewłaściwej funkcji w $ +\infty $

Rys. 5 przedstawia wykres funkcji określonej w całym zbiorze liczb rzeczywistych oraz metodę wyznaczania granicy niewłaściwej funkcji w nieskończoności, korzystając z definicji Heinego. Na osi odciętych wybieramy ciąg rozbieżny do $ +\infty $ (niebieski), wyznaczamy odpowiadające im punkty na wykresie funkcji (czerwone), a następnie rzutujemy je prostopadle na oś rzędnych otrzymując wartości funkcji dla argumentów będących wyrazami wyjściowego ciągu (zielone). Badamy zachowanie się ciągu wartości i jeżeli jest to ciąg rozbieżny do $ +\infty $, to funkcja ma granicę niewłaściwą w nieskończoności $ +\infty $, co zachodzi w przypadku badanej funkcji. Zauważmy również, że można tu stosować definicję Cauchy’ego i sprawdzać, czy dla dowolnej prostej o równaniu $ y=A $ znajdziemy na osi odciętych przedział $ (a,+\infty) $ taki, że dla argumentów z tego przedziału wykres funkcji leży powyżej prostej.

Przykład 6:

Oblicz granicę $ \lim_{x\to -\infty}{\frac{x^3+x-4}{3x^2-2x+1}} $.
Rozwiąznie:
Skorzystamy z definicji Heinego. Bierzemy zatem dowolny ciąg argumentów $ (x_n) $ rozbieżny do $ -\infty $.
Obliczamy granicę ciągu wartości funkcji dla tych argumentów
$ \lim_{n\to \infty}{f(x_n)}=\lim_{n\to \infty}{\frac{x_n^3+x_n-4}{3x_n^2-2x_n+1}}=\left[\frac{-\infty}{\infty}\right]=\lim_{n\to \infty}{\frac{x_n^3\left(1+\frac{1}{x_n^2}-\frac{4}{x_n^3}\right)}{x_n^2\left(3-\frac{2}{x_n}+\frac{1}{x_n^2}\right)}}=\lim_{n\to \infty}{x_n\cdot \frac{1+\frac{1}{x_n^2}-\frac{4}{x_n^3}}{3-\frac{2}{x_n}+\frac{1}{x_n^2}}}=-\infty $.

Czyli $ \lim_{x\to -\infty}{\frac{x^3+x-4}{3x^2-2x+1}}=-\infty $.

Temat:
Opis:
Typ:

Email:

Matematyka

Definicja granicy funkcji w punkcie i w nieskończoności

Definicja 1: Otoczenie i sąsiedztwo punktu

Definicja 2: Definicja Cauchy'ego granicy właściwej funkcji w punkcie

Uwaga 1:

Definicja 3: Definicja Heinego granicy właściwej funkcji w punkcie

Uwaga 2:

Uwaga 3:

Twierdzenie 1: o równoważności definicji Cauchy’ego i Heinego

Przykład 1:

Przykład 2:

Definicja 4: Granica właściwa funkcji w nieskończoności

Uwaga 4:

Przykład 3:

Przykład 4:

Uwaga 5:

Wniosek 1:

Definicja 5: Granica niewłaściwa funkcji w punkcie

Uwaga 6:

Przykład 5:

Definicja 6: Granica niewłaściwa funkcji w nieskończoności

Uwaga 7:

Przykład 6: